Les intérêts composés
Définition : un capital est placé à intérêts
composés, si au terme de chaque période de
capitalisation, l'intérêt généré s'ajoute au
capital initial pour, ensemble, produire des intérêts
au cours des périodes suivantes. On appelle aussi
cela la capitalisation.
Nous utiliserons les notations suivantes: Cn = valeur
acquise au terme de n années de placement, Co = Capital
placé initialement, n = durée du placement, i =
taux d'intérêt pour une période. La formule générale est la
suivante :
Cn = Co.(1+i)n
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Exemple: Vous placez 10
000 euros sur un compte épargne à un taux de
4% par an, quelle somme retrouverez vous au bout
de 5 ans ?
Cn = 10 000.(1+0,04)5
= 12 166 euros, soit un gain de 2 166 euros.
Que ce serait il passé si vous
n'aviez pas laissé les intérêts en
capitalisation mais qu'on vous les avait versé
chaque année ?
Tout simplement vous auriez touché 400 euros
par an (4% de 10 000 euros) pendant 5 ans, soit
2 000 euros, en capitalisant les intérêts vous
avez gagné 2 166 euros.
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En terme d'épargne vous pouvez aussi vous poser
la question à l'envers : pour un taux d'intérêt et un nombre
d'années de placement connu, je voudrais acquérir un capital
de X euros, quel capital investir au départ ?
La formule de calcul inversée donne : Co =
Cn.(1+i)-n
Exemple : vous souhaiteriez
disposer d'un capital de 300 000 euros dans 25
ans, on vous propose un placement à taux fixe
de 5%, quelle somme devez vous placer
aujourd'hui ?
Somme à placer = 300 000.(1+0.05)-25
= 88 591 euros à placer aujourd'hui. |
Les annuités
Nous avons vu dans les paragraphes précédents, des situations
dans lesquelles on partait d'un capital initial pour arriver à
un capital final. Néanmoins on ne tenait pas compte de
versements complémentaires effectués au cours des années de
placement, que se passe t'il dans ce cas ?
Définition : les annuités désignent une suite de
versements effectués à intervalles de temps réguliers. Le
versement qui peut être annuel, mensuel, est généralement
destiné à constituer un capital ou à rembourser une dette.
Pour simplifier les calculs, nous verrons le cas d'annuités
constantes. Nous utiliserons les notations suivantes : Vn
= Valeur acquise au terme, a = le montant de l'annuité, n
= le nombre d'annuités, i = le taux d'intérêt.
La formule générale est la suivante : Vn
= a.[(1+i)n-1] / i
Exemple : on vous propose un
placement sur 10 ans avec un prélèvement
automatique de 200 euros par mois afin de vous
constituer un patrimoine, le taux d'intérêt
annuel est de 6%.
La périodicité de versement étant mensuelle,
il nous faut tout d'abord ajuster le taux d'intérêt
annuel (6%) sur une base mensuelle, soit 6% / 12
mois = 0,5% par mois. Ensuite le nombre de
mensualités sera de 10 ans * 12 mois = 120.
Le montant du capital final sera donc = 200.[(1
+ 0,005)120-1]/0,005 = 32 775 euros,
pour cela vous aurez versé en tout : 120 annuités
* 200 euros = 24 000 euros. |
Ici aussi nous pouvons nous poser la question
inverse : combien dois-je épargner chaque mois à un taux d'intérêt
et une période de temps donné pour obtenir le capital que je désire
à l'échéance du placement.
La formule inversée est la suivante : a =
(Vn.i) / [(1+i)n-1]
Exemple : vous désirez un
capital de 100 000 euros dans 15 ans, le taux
d'intérêt que l'on vous propose est de 6%,
quelle somme devez vous épargner chaque mois :
Tout d'abord, en ce qui concerne la taux d'intérêt,
il correspond à 0,5% par mois (voir plus haut),
les mensualités seront au nombre de 180 (soit
15 ans * 12 mois).
Mensualité nécessaire = (100 000*0,005) /
[(1+0,005)180-1] = 344 euros. |
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