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Analyse financière - Leçon 10 - Les Calculs d'intérêts

Dans la vie de tous les jours comme dans nos opérations d'investissement nous avons souvent recours à des calculs d'intérêts. Aussi simples qu'ils puissent paraître, ces calculs appris il y a souvent très longtemps ont du mal à être mis en pratique.

Une petite piqûre de rappel s'impose donc pour manier avec aisance ces précieuses formules qui nous permettent de faire des calculs de rendement sur nos placements préférés.

Définition : L'intérêt est la rémunération due par l'emprunteur au prêteur en contrepartie de la mise à disposition d'un capital pendant une durée déterminée.

Les intérêts simples

Dans leur calcul entrent en compte quatre données : Le capital emprunté, nous le noterons C, la durée du placement : n, le taux d'intérêt annuel : t et le montant de l'intérêt : i

interets

Exemple : imaginons que vous empruntiez 5 000 euros pour une durée de 2 ans avec un taux d'intérêt de 10%, les intérêts que vous paierez seront de :

interet simple

Si vous souhaitez utiliser les mois ou les jours à la place des années, les formules deviennent :

Pour "n" exprimé en mois : calcul interet 

Pour "n" exprimé en jours :  interest

Cette dernière formule est particulièrement utile pour calculer simplement le coût d'un achat suivant le mode du règlement différé (SRD).

Exemple : vous achetez au SRD pour 10 000 euros d'actions, le taux annuel que vous consent votre courtier est de 6%, et vous gardez vos titres 25 jours avant de les revendre, ce prêt vous aura coûté :

taux interet

Une variante, la valeur acquise

La valeur acquise est la somme du capital initial et des intérêts qu'il génère, au terme d'un certain nombre d'années de placement. Nous utiliserons les notations suivantes : Cn = valeur acquise, C = capital de base, t = taux d'intérêt annuel, n = nombre d'années.

valeur acquise

Ainsi pour une somme initiale de 5 000 euros placée 3 ans au taux de 10%, sans capitalisation des intérêts, la valeur acquise est égale à :

5 000(1 + 10x3/100) = 5 000+1 500 = 6 500 euros

Nous le voyons, les intérêts simples, correspondent à des situations où les intérêts acquis ne produisent pas eux même un intérêt, ils ne sont pas capitalisés. Seuls les intérêts composés nous permettront de mener ces calculs.

Les intérêts composés

Définition : un capital est placé à intérêts composés, si au terme de chaque période de capitalisation, l'intérêt généré s'ajoute au capital initial pour, ensemble, produire des intérêts au cours des périodes suivantes. On appelle aussi cela "la capitalisation".

Nous utiliserons les notations suivantes: Cn = valeur acquise au terme de n années de placement, Co = Capital placé initialement, n = durée du placement, i = taux d'intérêt pour une période. La formule générale est la suivante :

Cn = Co.(1+i)n

Exemple: Vous placez 10 000 euros sur un compte épargne à un taux de 4% par an, quelle somme retrouverez-vous au bout de 5 ans ?

Cn = 10 000 x (1+0,04)5= 12 166 euros, soit un gain de 2 166 euros.

Que ce serait-il passé si vous n'aviez pas laissé les intérêts en capitalisation mais qu'on vous les avait versés chaque année ?

Tout simplement vous auriez touché 400 euros par an (4% de 10 000 euros) pendant 5 ans, soit2 000 euros, en capitalisant les intérêts vous avez gagné 2 166 euros.

En terme d'épargne vous pouvez aussi vous poser la question à l'envers : pour un taux d'intérêt et un nombre d'années de placement connu, je voudrais acquérir un capital de X euros, quel capital investir au départ ?

La formule de calcul inversée donne : Co =Cn.(1+i)-n

Exemple : vous souhaitez disposer d'un capital de 300 000 euros dans 25ans, on vous propose un placement à taux fixe de 5%, quelle somme devez-vous placer aujourd'hui ?

Somme à placer = 300 000 x (1+0.05)-25= 88 591 euros à placer aujourd'hui.

Les annuités

Nous avons vu dans les paragraphes précédents, des situations dans lesquelles on partait d'un capital initial pour arriver à un capital final. Néanmoins on ne tenait pas compte de versements complémentaires effectués au cours des années de placement, que se passe-t-il dans ce cas ?

Définition : les annuités désignent une suite de versements effectués à intervalles de temps réguliers. Le versement qui peut être annuel, mensuel, est généralement destiné à constituer un capital ou à rembourser une dette.

Pour simplifier les calculs, nous verrons le cas d'annuités constantes. Nous utiliserons les notations suivantes : Vn= Valeur acquise au terme, a = le montant de l'annuité, n= le nombre d'annuités, i = le taux d'intérêt.

La formule générale est la suivante : Vn= a.[(1+i)n-1] / i

Exemple : on vous propose un placement sur 10 ans avec un prélèvement automatique de 200 euros par mois afin de vous constituer un patrimoine, le taux d'intérêt annuel est de 6%.

La périodicité de versement étant mensuelle, il nous faut tout d'abord ajuster le taux d'intérêt annuel (6%) sur une base mensuelle, soit 6% / 12mois = 0,5% par mois. Ensuite le nombre de mensualités sera de 10 ans * 12 mois = 120.

Le montant du capital final sera donc = 200.[(1+ 0,005)120-1]/0,005 = 32 775 euros, pour cela vous aurez versé en tout : 120 annuités* 200 euros = 24 000 euros.

Ici aussi nous pouvons nous poser la question inverse : combien dois-je épargner chaque mois à un taux d'intérêt et une période de temps donnée pour obtenir le capital que je désire à l'échéance du placement.

La formule inversée est la suivante : a =(Vn.i) / [(1+i)n-1]

Exemple : vous désirez un capital de 100 000 euros dans 15 ans, le taux d'intérêt que l'on vous propose est de 6%,quelle somme devez-vous épargner chaque mois :

Tout d'abord, en ce qui concerne le taux d'intérêt, il correspond à 0,5% par mois (voir plus haut),les mensualités seront au nombre de 180 (soit15 ans * 12 mois).

Mensualité nécessaire = (100 000 x 0,005) /[(1+0,005)180-1] = 344 euros.

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