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Variance et covariance - partie 1

En statistiques comme en finance la variance et la covariance sont deux des principales mesures utilisées pour mener à bien une étude.

Manipulés par l'ensemble des acteurs financiers, ces deux instruments sont considérés comme la base de toute étude de risque qu'il faut connaitre à tout prix avant même d'entreprendre de manipuler un portefeuille d'actif.

Nous allons donc reprendre ces fondamentaux en rappelant les formules mathématiques et leurs propriétés tout en illustrant avec des exemples concrets.

La variance

La variance est, selon la définition classique, la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne. En termes plus mathématiques elle peut être considérée comme une mesure servant à caractériser la dispersion d’une distribution ou d’un échantillon.

La formule de la variance est la suivante :

formule variance

Grossièrement on peut la voir comme la moyenne des carrés moins le carré des moyennes. Cette formule intègre des carrés dans le but d’éviter que les écarts positifs et les écarts négatifs par rapport à la moyenne ne s’annulent.

La dimension de cette mesure étant le carré de la dimension de la moyenne, on utilise plus souvent l’écart-type qui n’est rien d’autre que la racine de la variance.

La dimension de cette mesure étant la dimension du carré de la moyenne, on utilise plus souvent l’écart-type qui n’est rien d’autre que la racine de la variance.

La variance possède différentes propriétés

- Etant calculée comme l’espérance d’un nombre au carré, la variance est toujours positive ou nulle.

- Si la variance est nulle, cela signifie que la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne est nulle et donc que la variable aléatoire est une constante.

- V(aX+b)=a²V(X)
- V(X+Y)=V(X-Y)=V(X)+V(Y)

Prenons un exemple pour illustrer le calcul d’une variance en finance.

Exemple sur un actif

Soit l'actif Société Générale dont on a téléchargé ses cotations de clôture à chaque fin de mois durant une année.

variance action

La moyenne des variations est de -0,4775%.

Sa variance est donc: Var (Soc. G.)= (-0,517+0,004775)²+(0,1587+0,004775)²+(0,2477+0,004775)²+…+(-0,1324+0,004775)²/12=0,01837

Comme la variance est proche de 0 cela signifie que le cours de l’actif ne s’écarte pas énormément de sa moyenne et donc que les variations ne sont pas trop importantes.

Ainsi on dit que la variance traduit la notion d’incertitude. Plus la variance est élevée et plus le cours de l’actif est susceptible de s’éloigner de sa moyenne.

La covariance

La covariance est légèrement différente. Si la variance permet d’étudier les variations d’une variable par rapport à elle-même, la covariance va permettre d’étudier les variations simultanées de deux variables par rapport à leur moyenne respective.

En finance, cette notion permet de mesurer le degré de liaison des fluctuations de deux titres entres eux, ou encore d’un titre avec un indice.

La covariance peut être vue comme le produit des valeurs de deux variables moins le produit des deux moyennes. Mathématiquement, la formule est la suivante :

formule covariance

Du résultat obtenu par cette mesure on en déduit que plus la covariance est faible et plus les séries sont indépendantes et inversement plus elle est élevée et plus les séries sont liées. Une covariance nulle correspondant à deux variables totalement indépendantes.

Exemple concret sur le marché

Prenons un exemple pour illustrer le calcul d’une covariance en finance. Il s'agira ici de comparer deux actions : Air France et Société Générale, dont nous avons récupéré les variations historiques mensuelles.

coraviance action bourse

Appliquons la formule de la variance énoncée plus haut, soit :

Cov (Société G.; Air France) = [(-0,0517+0,004775)*(-0,1897+0,000808)+(0,1587+0,004775)*(-0,0297+0,000808)+ ... +(-0,1324+0,004775)*(-0,1706+0,000808)]/12= 0,01074

Avec un résultat positif et pas si faible que cela, on peut en conclure que d'une part ces deux actifs ont évolué de concert, ils sont corrélés positivement. Les deux titres ne sont donc pas si indépendants que cela.

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