Les calculs d'intérêts simples, composés et les annuités
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Analyse financière - Leçon 10 - Les Calculs d'intérêts (2/2)

Les intérêts composés

Définition : un capital est placé à intérêts composés, si au terme de chaque période de capitalisation, l'intérêt généré s'ajoute au capital initial pour, ensemble, produire des intérêts au cours des périodes suivantes. On appelle aussi cela "la capitalisation".

Nous utiliserons les notations suivantes: Cn = valeur acquise au terme de n années de placement, Co = Capital placé initialement, n = durée du placement, i = taux d'intérêt pour une période. La formule générale est la suivante :

Cn = Co.(1+i)n

Exemple: Vous placez 10 000 euros sur un compte épargne à un taux de 4% par an, quelle somme retrouverez-vous au bout de 5 ans ?

Cn = 10 000 x (1+0,04)5 = 12 166 euros, soit un gain de 2 166 euros.

Que ce serait-il passé si vous n'aviez pas laissé les intérêts en capitalisation mais qu'on vous les avait versés chaque année ?

Tout simplement vous auriez touché 400 euros par an (4% de 10 000 euros) pendant 5 ans, soit 2 000 euros, en capitalisant les intérêts vous avez gagné 2 166 euros.

En terme d'épargne vous pouvez aussi vous poser la question à l'envers : pour un taux d'intérêt et un nombre d'années de placement connu, je voudrais acquérir un capital de X euros, quel capital investir au départ ?

La formule de calcul inversée donne : Co = Cn.(1+i)-n

Exemple : vous souhaitez disposer d'un capital de 300 000 euros dans 25 ans, on vous propose un placement à taux fixe de 5%, quelle somme devez-vous placer aujourd'hui ?

Somme à placer = 300 000 x (1+0.05)-25 = 88 591 euros à placer aujourd'hui.

Les annuités

Nous avons vu dans les paragraphes précédents, des situations dans lesquelles on partait d'un capital initial pour arriver à un capital final. Néanmoins on ne tenait pas compte de versements complémentaires effectués au cours des années de placement, que se passe-t-il dans ce cas ?

Définition : les annuités désignent une suite de versements effectués à intervalles de temps réguliers. Le versement qui peut être annuel, mensuel, est généralement destiné à constituer un capital ou à rembourser une dette.

Pour simplifier les calculs, nous verrons le cas d'annuités constantes. Nous utiliserons les notations suivantes : Vn = Valeur acquise au terme, a = le montant de l'annuité, n = le nombre d'annuités, i = le taux d'intérêt.

La formule générale est la suivante : Vn = a.[(1+i)n-1] / i

Exemple : on vous propose un placement sur 10 ans avec un prélèvement automatique de 200 euros par mois afin de vous constituer un patrimoine, le taux d'intérêt annuel est de 6%.

La périodicité de versement étant mensuelle, il nous faut tout d'abord ajuster le taux d'intérêt annuel (6%) sur une base mensuelle, soit 6% / 12 mois = 0,5% par mois. Ensuite le nombre de mensualités sera de 10 ans * 12 mois = 120.

Le montant du capital final sera donc = 200.[(1 + 0,005)120-1]/0,005 = 32 775 euros, pour cela vous aurez versé en tout : 120 annuités * 200 euros = 24 000 euros.

Ici aussi nous pouvons nous poser la question inverse : combien dois-je épargner chaque mois à un taux d'intérêt et une période de temps donnée pour obtenir le capital que je désire à l'échéance du placement.

La formule inversée est la suivante : a = (Vn.i) / [(1+i)n-1]

Exemple : vous désirez un capital de 100 000 euros dans 15 ans, le taux d'intérêt que l'on vous propose est de 6%, quelle somme devez-vous épargner chaque mois :

Tout d'abord, en ce qui concerne le taux d'intérêt, il correspond à 0,5% par mois (voir plus haut), les mensualités seront au nombre de 180 (soit 15 ans * 12 mois).

Mensualité nécessaire = (100 000 x 0,005) / [(1+0,005)180-1] = 344 euros.

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